OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2016

LỚP 10

Bài 1. Giải hệ phương trình

\left\{\begin{matrix}x+\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}=3\\ y-\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}=0\end{matrix}\right.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n tồn tại vô hạn cách để viết n dưới dạng

n=\pm 1^2\pm 2^2 \pm...\pm k^2,

với số nguyên dương k và các dấu +,- phù hợp.

Bài 3. Cho \Delta ABC có độ dài các cạnh không vượt quá 1. Gọi p, R, r lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của \Delta ABC. Chứng minh rằng

p(1-2Rr) \leq 1.

Bài 4. Cho nửa đường tròn đường kính BC cố định và A di chuyển trên đó. Hai điểm DE nằm ngoài tam giác ABC sao cho tam giác ABD cân tại D và tam giác AEC cân tại E. Biết \angle DAB=\angle EAC=\alpha không đổi. Gọi T là trung điểm của đoạn DE. Chứng minh rằng điểm T di chuyển trên đường tròn cố định khi điểm A di chuyển.

Bài 5. 10 bạn học sinh đang chơi một trò chơi. Biết rằng khoảng cách giữa các bạn là khác nhau và mỗi bạn đều có một quả bóng. Khi có hiệu lệnh của cô giáo, mỗi bạn phải chuyển quả bóng cho bạn đứng gần mình nhất. Gọi A là số bạn có bóng. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

-Hết-

LỚP 11

Bài 1. Giải phương trình lượng giác (2cosx-1)(sinx+cosx)=1.

Bài 2. Cho a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng

(3a+2b+c)^3 \geq 6\sqrt{3}(a+b+c)(ab+bc+ca).

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 3. Cho dãy số (u_{n}) được xác định như sau:

\left\{\begin{matrix}u_0=2, u_1=1\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}, \forall n \geq 0\end{matrix}\right.

k là một số nguyên dương lẻ bất kỳ.

a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương lẻ thì u_k là ước của u_{kn}.

b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương chẵn thì u_k^2 là ước của u_{kn}-2. Đặc biệt, nếu n=2 thì u_k^2=u_{2k}-2. Từ đó hãy chứng minh u_{2k}+6 không thể là lũy thừa bậc 5 của bất kỳ số nguyên dương nào.

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). Đường thẳng qua I và vuông góc CI cắt BC và cung nhỏ BC (không chứa A) của đường tròn (O) lần lượt tại U, V. Đường thẳng qua U và song song với AI cắt AV tại X. Chứng minh rằng nếu đường thẳng XIAI vuông góc với nhau thì đường thẳng XI đi qua trung điểm đoạn AC.

Bài 5. 32 chiếc đĩa xếp thành nhiều chồng. Ở mỗi bước ta chọn một chồng có k dĩa, sau đó bốc thêm vào chồng này k dĩa nữa lấy từ một chồng khác có không ít dĩa hơn. Hỏi sau hữu hạn bước có thể xếp tất cả các dĩa vào một chồng hay không?

-Hết-

LỚP 12

Bài 1. Cho số tự nhiên m. Xét dãy số (u_n) thỏa mãn

\left\{\begin{matrix}u_1=\dfrac{1}{2}\\ u_{n+1}=1+u_{n}-u_{n}^m, \forall n \in \mathbb{N} \end{matrix}\right.

a) Chứng minh rằng khi m=2 thì dãy (u_n) hội tụ và tìm giới hạn của dãy.

b) Chứng minh rằng khi m>2 thì dãy (u_n) không hội tụ.

Bài 2. Cho a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng

(3a+2b+c)^3 \geq 6\sqrt{3}(a+b+c)(ab+bc+ca).

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 3. Vật chất di truyền ở vi khuẩn Mathobacterium là ADN dạng vòng gồm n gen (n nguyên dương) đánh số từ 1 đến n theo chiều kim đồng hồ. Enzym Squarase phiên mã theo quy tắc: Phiên mã gen thứ nhất; trượt tới 4 gen, phiên mã gen đó; sau đó trượt tới 9 gen, và phiên mã gen đó (tức là lần lượt phiên mã gen thứ 1, thứ 5, thứ 14,…. và cứ xoay vòng như vậy).

Tìm  n để vi khuẩn phát triển bình thường (tất cả các gen đều được phiên mã).

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm D thuộc đoạn BC. Đường tròn (I_1) tiếp xúc AD tại X, tiếp xúc BD và tiếp xúc trong với (O). Đường tròn (I_2) tiếp xúc AD tại Y, tiếp xúc CD và tiếp xúc trong với (O) (X, Y thuộc đoạn AD). Đường thẳng qua X vuông góc với AI_1 cắt đường thẳng qua Y vuông góc AI_2 tại K. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AK, XY.

a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AK trực giao với các đường (I_1), (I_2).

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định khi D di động trên đoạn BC.

Bài 5. 2n viên sỏi ( n nguyên dương cho trước) đang được xếp thành 3 đống. Mỗi lần thực hiện cho phép lấy một nửa số viên sỏi  từ đống sỏi có chẵn viên sỏi và chuyển sang đống khác. Chứng minh rằng, dù các đống sỏi ban đầu được xếp thế nào, sau một số hữu hạn các bước thực hiện như thế, ta có thể tạo ra một đống sỏi có đúng n viên sỏi.

-Hết-

 

Chuyên mục:OLYMPIC GGTH

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất /  Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất /  Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất /  Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất /  Thay đổi )

Connecting to %s